Dünya üzerinde en çok hayranı olan yiyeceklerden biri olan çikolatayı çoğumuz seviyoruz. Nasıl yapıldığından içerisine konulan şeylerin oranına nazaran binlerce farklı tatta çikolata bulunuyor. Bir markanın çikolatasıyla başka markanın çikolatası ortasında bile büyük farklılık var, lakin kaliteli bir çikolatanın ağızda bıraktığı o ağır lezzeti sevmeyen yoktur diye düşünüyoruz.
Çikolatayı bu kadar çok sevdiğimiz için bitmesini istemiyoruz. Pekala aldığınız bir çikolatayı matematiği kullanarak sonsuza kadar çoğaltmak mümkün mü? Elbette bir boyutu ve yükü olan somut bir gıdayı sonsuza kadar yemek mümkün değil ancak matematik, teoride bunu mümkün kulan bir paradoksa sahip.
Çikolatayı yanlışsız bölgelerden bölerek sonsuz sayıda çikolata kesimi üretebilir miyiz?
Yukarıdaki görselde de gördüğünüz üzere 5 x 5 modülden oluşan bir çikolatayı düşünelim. Bu çikolatayı muhakkak bir açıyla ortadan ikiye bölelim ve üstte kalan parçayı da tekrar birtakım özel modüllere ayıralım. (Çikolatanın nasıl parçalandığını üstteki GIF’ten görebilirsiniz.) Bu biçimde bir kesim süreci yapıp modüllerin yerlerini değiştirip yine koyduğunuzda 1 modülün dışarıda kaldığını görüyoruz.
Bu açıdan bakıldığında 1 kesimin dışarıda kaldığını, üstelik hala 5 x 5 modülün bütünlüğünü koruduğunu görüyoruz. Bu da bize “Sonsuz çikolataya sahip olabilir miyiz?” sorusunu sorduruyor. Pekala nitekim oluyor mu?
Bir çikolatayı sonsuza kadar parçalayıp yemeyi mümkünmüş üzere gösteren “Banach – Tarski paradoksu” tam olarak nasıl işliyor?
Sonsuz çikolata paradoksu, matematikte yeri olan Banach – Tarski paradoksunun bir örneği aslında. Bu paradoksa nazaran “hiçbir şeyden bir şey var etmek” mümkün. Fakat üstteki görselde her ne kadar gerçekmiş üzere görünse de dünya fiziğinde bir gerçekliği yok. Şayet gerçek dünyada bu prosedürü uygularsanız çikolatanın boyutunun küçüldüğünü görebilirsiniz. Kısaca üstteki GIF’te bir hile var.
Konuyu daha âlâ kavramak için Banach – Tarski paradoksunun kökenine inelim.
1924 yılında Stefan Banach ve Alfred Tarski tarafından ortaya atılan bu matematiksel paradoks, teoride içi dolu bir küreyi sonlu modüllere ayırıp bu modülleri eğip bükmek ve germek olmaksızın yalnızca öteleme ve döndürme yolu ile yine bir ortaya getirerek orijinal küreyle birebir olan iki küre oluşturmanın matematiksel formülünün mümkün olduğunu gösteriyor.
Bu paradoksta örneğin 1 hacme sahip küreyi ölçülemeyen modüllere bölüyorsunuz. Bu modüller ölçülemez oldukları için tekrar bir ortaya geldiklerinde istediğiniz hacmi alabilmenizi sağlıyor. Bu paradoks elbette gerçek dünyada gerçek sonuç vermiyor. Soyut olan bir dünyada ise matematiksel olarak uygulanabilir oluyor.
Peki görseldeki kayıp nereye gitti?
Yukarıda görselde de görebileceğiniz üzere fazlalık olan 1 modül çikolata, çikolatanın kalanından çıkarıldığında tekrar 25 kesim ele edilebiliyor ancak çikolatanın bütününden o 1 kesim çikolatanın alanı daralmış oluyor. Görseldeki bu yanılsama her ne kadar “böyle bir şey mümkün mü?” dedirtse de gerçeklikte maalesef bir çikolatayı sonsuza kadar yemeye devam edemiyoruz.
